Question

11、試證明：在數2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一個數能被n整除，這里n是大于1的奇數．

Answer 1

分析：先根據n是大于1的奇數設出n的值，即n=2k+1（k是不等于0的自然數），把n的值代入2^n-1-1中可得到
2^n-1-1=2^2k-1=（2^k-1）（2^k+1），再求出當2^k-1=2k+1或2^k=2k時k為大于0的自然數時原結論即可得證．

解答：解：∵n是大于1的奇數，
∴設n=2k+1（k是不等于0的自然數），
∴2^n-1-1=2^2k-1=（2^k-1）（2^k+1），
∴當2^k-1=2k+1或2^k=2k時，2^n-1-1是n的倍數，
當k=3時，2^k-1=7，2k+1=7，故2^n-1-1是n的倍數成立，
當k=2時，2^k+1=5，2k+1=5，故2^n-1-1是n的倍數成立．
綜上所述，在數2-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1中，至少有一個數能被n整除．

點評：本題考查的是數的整除性問題，根據奇數的性質設n=2k+1是解答此題的關鍵．