Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，已知OA=3，OC=2．在OA上取一點D，將△BDA沿BD對折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）寫出點B、F的坐標；
（2）求以點F為頂點，且經過點A的拋物線的解析式；
（3）在第（2）題的拋物線上是否存在點P使得四邊形PDBF為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA=3，OC=2可求出B的坐標，由折疊的性質可知△BDA≌△BDF，所以AB=BF，根據折疊可得DA=FD=CO，進而得到DF和DA的長，然后即可算出DO的長，進而得到F點坐標；
（2）設點F為頂點，且經過點A的拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，由（1）可知F（1，2），所以h=1，k=2，再把A（3，0）代入求出a的值即可；
（3）在第（2）題的拋物線上存在點P使得四邊形PDBF為平行四邊形，過F作FP∥BD交x軸于P，若四邊形PDBF為平行四邊形則BF=DP，進而求出P的坐標，把P的坐標代入拋物線的解析式即可驗證P是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，
∴AB=OC，BC=OA，
∴OA=3，OC=2，
∴點B的坐標是（3，2），
根據折疊可得DA=DF，
∴DF=CO=2，
∴AD=2，
∴DO=3-2=1，
∴F（1，2），
（2）設點F為頂點，且經過點A的拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵F（1，2），
∴y=a（x-1）²+2，
∵OA=3，
∴A（3，0），
∴0=a（3-1）²+2，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x-1）²+2；
（3）在第（2）題的拋物線上存在點P使得四邊形PDBF為平行四邊形，
過F作FP∥BD交x軸于P，若四邊形PDBF為平行四邊形則BF=DP，
∵AB=BF=2，
∴BF=DP=2，
∵AD=DF=OC，OA=3，
∴OD=1，
∴OP=1，
∴P點的坐標（-1，0），
把（-1，0）代入解析式y(tǒng)=-

1

2

（x-1）²+2得0=-

1

2

×4+2，
∴點P在拋物線上，
∴在第（2）題的拋物線上存在點P使得四邊形PDBF為平行四邊形，點P的坐標是（-1，0）．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求二次函數以及矩形的性質、平行四邊形的判定定理，難度較大．