Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過(guò)C作CD⊥PA，垂足為D．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若DC=4，AC=5，求⊙O的直徑的AE．

Answer 1

（1）證明：連接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即CD⊥OC，點(diǎn)C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線．

（2）過(guò)O作OM⊥AB于M．即∠OMA=90°，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四邊形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD=4．
∵DC=4，AC=5，
∴AD=3，
設(shè)圓的半徑為x，則AM=x-AD=x-3，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根據(jù)勾股定理得：AO²=AM²+OM²．
∴x²=（x-3）²+4²，
∴x=

25

6

∴⊙O的半徑是

25

6

，
∴⊙O的直徑的AE=2×

25

6

=

25

3

．