Question

巳知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．
（1）求BC、AD的長度；
（2）若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/秒的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm/秒的速度運動，當P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍（不包含點P在B、C兩點的情況）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°
∴∠DBC=30°
∴BC=2CD=6cm
由已知得：梯形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠C=60°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°
∴∠ABD=∠ADB
∴AD=AB=3cm

（2）當P、Q分別從B、C同時出發(fā)運動t秒時，BP=2t，CQ=t
∴PC=6-2t
過Q作QE⊥BC于E，則QE=CQsin60°=t
∴S_梯形ABCD-S_△PCQ=-（6-2t）t=（2t²-6t+27）（0＜t＜3）

（3）存在時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5
∵S_梯形ABCD=，S_△ABD=×3××3
∴S_△ABD=×S_梯形ABCD
∴五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD面積的
∴S_△PCQ：S_{五邊形ABPQD}=1：5，
即S_{五邊形ABPQD}=S_梯形ABCD
∴（2t²-6t+27）=×
整理得：4t²-12t+9=0
∴t=，即當t=秒時，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5．
分析：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°根據三角函數(shù)就可以求出BC的長．∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°，即∠ABD=∠ADB根據等角對等邊，就可以得到AD=AB．
（2）寫出五邊形ABPQD的面積S是梯形ABCD的面積與△PCQ的面積的差，梯形ABCD的面積容易得到．△PCQ中PC容易用時間t表示出來，PC邊上的高，根據三角形相似就可以表示出來，從而五邊形ABPQD的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關系式就可以求出來．
（3）線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5，即五邊形ABPQD的面積S是梯形面積的或，就可以得到方程，解方程，就可以求出t的值．
點評：本題是函數(shù)與梯形相結合的題目，注意數(shù)與形的結合是解題的關鍵．