Question

已知直線y=-

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x+m（m＞0）與x軸、y軸分別將于交于點C和點E，過E點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為D，
（1）如果△CDE恰為等邊三角形．求b的值；
（2）設拋物線交y=ax²+bx+c與x 軸的兩個交點分別為A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），問是否存在這樣的實數(shù)m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此時m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出C、E兩點坐標，再求出頂點D坐標，根據(jù)△CDE恰為等邊三角形的條件便可求出b的值；
（2）先求出A點坐標，將A點坐標代入拋物線的解析式，求出m值，然后檢驗便可知道不存在m使得∠AEC=90°．

解答：解：（1）直線y=-

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x+m（m＞0）與x軸、y軸分別將于交于點C和點E，
當y=0時，x=

3

m，當x=0時，y=m，
∴C（

3

m，0）E（0，m）
∴CE=

OC2+OE2

=2m．
由題意拋物線y=ax²+bx+c過E點可得：m=c，
拋物線y=ax²+bx+c的頂點為D（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
由△CDE恰為等邊三角形可知D點坐標為（

3

m，2m），
∴

3 m=- b 2a 2m= 4ac-b2 4a

解得a=-

1

3m

，b=

2 3

3

；
（2）拋物線的解析式為y=-

1

3m

x²+

2 3

3

x+m，
A（x₁，0）為拋物線交于x 軸的交點，且使∠AEC=90°，
故A點坐標為A（-

3

3

m，0），
將A點坐標代入拋物線解析式為y=-

1

3m

x²+

2 3

3

x+m，
可得0=-

1

3m

（-

3

3

m）²+

2 3

3

（-

3

3

m）+m，
解得m=0，不符合題意，
故不存在m使得∠AEC=90°．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，解題時要注意數(shù)形結合數(shù)學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．