Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

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x+6分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)．將射線AM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN．點(diǎn)D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部．

（1）求線段AC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AM∥x軸（如圖2），且四邊形ABCD為等腰梯形時(shí)，求D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�y=-

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x+6分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)．所以分別令y=0，x=0，即可求出點(diǎn)C、點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出OA、OC的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)度；
（2）設(shè)D（x，6）．需要分類討論：①當(dāng)AD∥BC，AB=DC時(shí)．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)推知點(diǎn)B在x軸上，并且是直線AN與x軸的交點(diǎn)；由點(diǎn)A的坐標(biāo)、等腰直角三角形OAB的性質(zhì)求得OB=OA=6，然后由兩點(diǎn)間的距離公式、等腰梯形中的等量關(guān)系A(chǔ)B=CD來求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．②當(dāng)CD∥AB，AD=BC時(shí)，易證四邊形ADCP是平行四邊形，所以PC=AD=2，即D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，6）．

解答：解：（1）∵直線y=-

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x+6分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)．
∴A（0，6），C（8，0），
則在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，
∴根據(jù)勾股定理知AC=

OA2+OC2

=

62+82

=10，即線段AC的長(zhǎng)是10；

（2）∵AM∥x軸，點(diǎn)D在直線AM上，A（0，6），點(diǎn)C在∠MAN的內(nèi)部，
∴設(shè)D（x，6）（x＞8）．
如圖1，當(dāng)AD∥BC，AB=CD時(shí)．
∵AM∥x軸，且四邊形ABCD為等腰梯形，點(diǎn)B在直線AN上，
∴點(diǎn)B為直線AN與x軸的交點(diǎn)．
∵∠DAB=45°，∠DAB=∠ABO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠ABO=45°．
∴OA=OB=6，
∴AB=CD=6

2

，即

(x-8)2+62

=6

2

，
解得，x=14，或x=2（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（14，6）．
如圖2，當(dāng)CD∥AB，AD=BC時(shí)，設(shè)直線AN與x軸交于點(diǎn)P．
∵AD∥PC，AP∥DC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴PC=AD=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，6）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（14，6），或（2，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解答（2）題時(shí)，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想是應(yīng)用，當(dāng)x=2時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，而非等腰梯形．