Question

如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），拋物線上另有一點C在第一象限，滿足∠ACB為直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求線段OC的長；
（2）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在x軸上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令拋物線中y=0，可得出A、B的坐標(biāo)，即可確定OA，OB的長．根據(jù)△OCA∽△OBC，可得出關(guān)于OC、OA、OB的比例關(guān)系式即可求出OC的長．
（2）C是BP中點，因此C的橫坐標(biāo)是B點橫坐標(biāo)的一半，在（1）中已經(jīng)求得了OC的長，因此不難得出C點的坐標(biāo)．將C點坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（3）應(yīng)該有四個符合條件的點：
①以C為圓心，BC為半徑作弧，交x軸于一點，這點符合P點要求，此時CP=BC，已知了B、C的坐標(biāo)，即可求出P點坐標(biāo)．
②以B為圓心，BC為半徑作弧，交x軸于兩點，這兩點也符合P點要求，此時BC=BP，根據(jù)B、C的坐標(biāo)，不難得出BC的長，將B點坐標(biāo)向左或向右平移BC個單位即可得出P點坐標(biāo)．
③作BC的垂直平分線，與x軸的交點也符合P點要求，此時CP=BP，可設(shè)出P點坐標(biāo)，用坐標(biāo)系兩點間距離公式表示出BP和CP的長，即可求出P點坐標(biāo)．
因此共有4個符合條件的P點．

解答：解：（1）由ax²-8ax+12a=0（a＜0）
得x₁=2，x₂=6．
即：OA=2，OB=6．
∵△OCA∽△OBC，
∴OC²=OA•OB=2×6．
∴OC=2

3

（-2

3

舍去）．
∴線段OC的長為2

3

．

（2）∵△OCA∽△OBC
∴

AC

BC

=

OA

OC

=

2

2 3

=

1

3

設(shè)AC=k，則BC=

3

k
由AC²+BC²=AB²得
k²+（

3

k）²=（6-2）²
解得k=2（-2舍去）
∴AC=2，BC=2

3

=OC
過點C作CD⊥AB于點D
∴OD=

1

2

OB=3
∴CD=

OC2-OD2

=

3

∴C的坐標(biāo)為（3，

3

）
將C點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得

3

=a（3-2）（3-6）
∴a=-

3

3

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：
y=-

3

3

x²+

8 3

3

x-4

3

．

（3）①當(dāng)P₁與O重合時，△BCP₁為等腰三角形
∴P₁的坐標(biāo)為（0，0）；
②當(dāng)P₂B=BC時（P₂在B點的左側(cè)），△BCP₂為等腰三角形
∴P₂的坐標(biāo)為（6-2

3

，0）；
③當(dāng)P₃為AB的中點時，P₃B=P₃C，△BCP₃為等腰三角形
∴P₃的坐標(biāo)為（4，0）；
④當(dāng)BP₄=BC時（P₄在B點的右側(cè)），△BCP₄為等腰三角形
∴P₄的坐標(biāo)為（6+2

3

，0）；
∴在x軸上存在點P，使△BCP為等腰三角形，符合條件的點P的坐標(biāo)為：
（0，0），（6-2

3

，0），（4，0），（6+2

3

，0）．

點評：命題立意：考查數(shù)形結(jié)合問題，由拋物線求二次函數(shù)的解析式，用幾何中相似三角形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)等知識．