Question

如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G．
（1）求證：①點F是BD中點；②CG是⊙O的切線；
（2）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：①∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；
∴==．
∵HE=EC，
∴BF=FD，即點F是BD中點．

②證明：連接CB、OC；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中點，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC為圓O半徑，
∴CG是⊙O的切線．

（2）解：∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．
∵（2+FG）²=BG×AG=2BG²①
∵BG²=FG²-BF²②
由①、②得：FG²-4FG-12=0
∴FG₁=6，F(xiàn)G₂=-2（舍去）
∴AB=BG=4．
∴⊙O半徑為2．
分析：（1）①易得△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF；進而可得比例關(guān)系式，再根據(jù)其中的相等關(guān)系可得BF=FD，即點F是BD中點；
②連接CB、OC，根據(jù)角的關(guān)系易得∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，進而可得∠OCF=90°，故可得CG是⊙O的切線；
（2）根據(jù)切割線定理可得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，解之即可的答案．
點評：本題考查切線的判定，線段等分關(guān)系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．