Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，8），點 B（b，t）在直線x=b上運動，點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點，其中b是大于零的常數(shù)．
（1）判斷四邊形DEFB的形狀．并證明你的結論；
（2）試求四邊形DEFB的面積S與b的關系式；
（3）設直線x=b與x軸交于點C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）四邊形DEFB是平行四邊形．利用DE、EF為△OAB的中位線證明平行四邊形；
（2）根據(jù)DE、EF為△OAB的中位線可知，S_△AEF=S_△ODE=

1

4

S_△AOB，利用S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE求S與b的關系式；
（3）當∠ABO=90°時，四邊形DEFB是矩形，由Rt△OCB∽Rt△ABO，根據(jù)相似比得OB²=OA•BC，由勾股定理得OB²=BC²+OC²，利用b、t分別表示線段的長，列方程求解．

解答：解：（1）四邊形DEFB是平行四邊形．
證明：∵D、E分別是OB、OA的中點，
∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四邊形DEFB是平行四邊形；

（2）解法一：∵S_△AOB=

1

2

×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴

S△AEF

S△AOB

=（

1

2

）²，即S_△AEF=

1

4

S_△AOB=b，同理S_△ODE=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如圖，連接BE，S_△AOB=

1

2

×8×b=4b，
∵E、F分別為OA、AB的中點，
∴S_△AEF=

1

2

S_△AEB=

1

4

S_△AOB=b，
同理S_△EOD=b，
∴S=S_△AOB-S_△AEF-S_△ODE=4b-b-b=2b，
即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E為圓心，OA長為直徑的圓記為⊙E，
①當直線x=b與⊙E相切或相交時，若點B是切點或交點，則∠ABO=90°，由（1）知，四邊形DEFB是矩形，
此時0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴

OB

BC

=

OA

BO

，即OB²=OA•BC=8t，
在Rt△OBC中，OB²=BC²+OC²=t²+b²，
∴t²+b²=8t，
∴t²-8t+b²=0，
解得t=4±

16-b2

，
②當直線x=b與⊙E相離時，∠ABO≠90°，
∴四邊形DEFB不是矩形，
綜上所述：當0＜b≤4時，四邊形DEFB是矩形，這時，t=4±

16-b2

，當b＞4時，四邊形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，當∠ABO=90°時，四邊形DEFB是矩形，
∵∠COB+∠AOB=90°，∠OAB+∠AOB=90°，
∴∠COB=∠OAB，
又∵∠ABO=∠OCB=90°，
∴Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴

BC

OB

=

OB

AO

，即OB²=OA•BC，
又OB²=BC²+OC²=t²+b²，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t²+b²=8t，
∴（t-4）²=16-b²，
①當16-b²≥0時，解得t=4±

16-b2

，此時四邊形DEFB是矩形，
②當16-b²＜0時，t無實數(shù)解，此時四邊形DEFB不是矩形，
綜上所述：當16-b²≥0時，四邊形DEFB是矩形，此時t=4±

16-b2

，當16-b²＜0時，四邊形DEFB不是矩形；
解法三：如圖，過點A作AM⊥BC，垂足為M，
在Rt△AMB中，AB²=AM²+BM²=b²+（8-t）²，
在Rt△OCB中，OB²=OC²+BC²=b²+t²，
在△OAB中，當AB²+OB²=OA²時，∠ABO=90°，則四邊形DEFB為矩形，
∴b²+（8-t）²+b²+t²=8²，
化簡得t²-8t=-b²，配方得（t-4）²=16-b²，其余同解法二．

點評：本題考查了平行四邊形、矩形、相似三角形的判定與性質，一次函數(shù)及勾股定理的運用．本題綜合性較強，需要熟練掌握特殊圖形的性質，形數(shù)結合，運用代數(shù)方法解答幾何問題．