Question

【題目】如圖1，拋物線y＝x2﹣3與x軸交于AB兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，連接AC．點Q是線段AC上的動點，過Q作直線l∥x軸，直線1與∠BAC的平分線交于點M，與∠CAx的平分線交于點N．

（1）P是直線AC下方拋物線上一動點，連接PA，PC，當△PAC的面積最大時，求PQ+AM的最小值；

（2）如圖2，連接MC，NC，當四邊形AMCN為矩形時，將△AMN沿著直線AC平移得到△A'M'N'，邊A'M'所在的直線與y軸交于D點，若△DM'N'為等腰三角形時，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2） OD的長為2或6或.

【解析】

（1）用割補法求得△PAC面積的表達式，獲得點P的坐標，利用30°構造AM為斜邊的直角三角形，轉(zhuǎn)換AM的關系，可證點P到x軸的距離即為PQ+AM的最小值；
（2）當四邊形AMCN為矩形時，根據(jù)矩形的性質(zhì)點Q為AC與MN的中點，△AMN的三邊長度固定，當△DM'N'為等腰三角形時，以D、M'、N'為頂點分三類進行討論，以線段相等作方程，求得OD的長．

解：（1）由已知可得

設P（m，m2﹣3）

S△PAC＝S△POC+S△AOP﹣S△AOC＝

當m＝時，△PAC的面積有最大值，此時點P坐標

如圖，作AH⊥MN，

AH＝AM

AH長為點Q到x軸的距離

PQ+AM＝PQ+AH＝

（2）當四邊形AMCN為矩形時，MN＝AC，點Q為AC與MN中點

有題意可知，直線AC的解析式l1為y＝x﹣3

過點M與AC平行的直線解析式l2為y＝x

過點N與AC平行的直線解析式l3為y＝x﹣6

直線AM的解析式l4為

設點N'（n， n﹣6），M'（n﹣2， n﹣6）

設直線A'M'的解析式為

將點M'代入可得

直線A'M'的解析式為

則

①當DM'＝DN'時，DM'2＝DN'2

解得n＝

OD＝2

②當DM'＝M'N'時，DM'2＝M'N'2

解得n＝0或3

OD＝6或0

③當DN'＝M'N'時，DN'2＝M'N'2

解得n＝±3

OD＝2

綜上所述，OD的長為2或6或2