Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+2bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），且與y軸正半軸交于點(diǎn)C，已知A（2，0）
（1）當(dāng)B（﹣4，0）時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為P，當(dāng)tan∠OAP=3時(shí)，求此拋物線的解析式；
（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙A，以C為圓心， OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓⊙C，當(dāng)⊙A與⊙C外切時(shí)，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把點(diǎn)A（2，0）、B（﹣4，0）的坐標(biāo)代入y=﹣x2+2bx+c得， ，

∴b=﹣1．c=8，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+8；

（2）解：如圖1，

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H，把點(diǎn)A（2，0）的坐標(biāo)代入y=﹣x2+2bx+c得，

﹣4+4b+c=0①，

∵拋物線的頂點(diǎn)為P，

∴y=﹣x2+2bx+c=﹣（x﹣b）2+b2+c，

∴P（b，b2+c），

∴PH=b2+c，AH=2﹣b，

在Rt△PHA中，tan∠OAP= ，

∴ =3②，

聯(lián)立①②得， ，

∴ （不符合題意，舍）或 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+8；

（3）解：∵如圖2，

拋物線y=﹣x2+2bx+c與y軸正半軸交于點(diǎn)C，

∴C（0，c）（c＞0），

∴ OC= c，

∵A（2，0），

∴OA=2，

∴AC= ，

∵⊙A與⊙C外切，

∴AC= c+2= ，

∴c=0（舍）或c= ，

把點(diǎn)A（2，0）的坐標(biāo)代入y=﹣x2+2bx+c得，﹣4+4b+c=0，

∴b= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+ x+ ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可確定出函數(shù)解析式；（2）用tan∠OAP=3建立一個(gè)b，c的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)A得出的等式即可求出b，c進(jìn)而得出函數(shù)關(guān)系式；（3）用兩圓外切，半徑之和等于AC建立方程結(jié)合點(diǎn)A代入建立的方程即可得出拋物線解析式．