已知二次方程x2-px+q=0的兩根為α、β，求
①以α3、β3為根的一元二次方程；
②若以α3、β3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有這樣的一元二次方程．
分析：①欲求以α
3、β
3為根的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，可知所求方程是x
2-（α
3+β
3）x+α
3β
3=0．先由已知條件得出α+β=p，αβ=q，再運用立方和公式、積的乘方的運算性質(zhì)用含p、q的代數(shù)式分別表示α
3+β
3，α
3β
3即可；
②由于①中所求方程即為x
2-px+q=0，則得方程組
，解此方程組，即可求出p、q的值，再舍去無實根的方程，從而求出問題的解．
解答：解：①∵方程x
2-px+q=0的兩根為α、β，
∴α+β=p，αβ=q，
∴α
3+β
3=（α+β）（α
2-αβ+β
2）=（α+β）
3-3αβ（α+β）=p
3-3pq，
α
3β
3=（αβ）
3=q
3，
∴以α
3、β
3為根的一元二次方程為x
2-（p
3-3pq）x+q
3=0；
②由題意，得
，
由q
3=q，得q=0，q=±1，
當q=0時，p
3=p，p=0，±1；
當q=1時，p
3=4p，p=0，±2；
當q=-1時，p
3=-2p，p=0．
∵當p=0，q=1時，方程x
2+1=0無實根，
∴滿足條件的方程有x
2=0；x
2-x=0；x
2+x=0；x
2-2x+1=0；x
2+2x+1=0；x
2-1=0．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，立方和公式，積的乘方的運算性質(zhì)，高次方程的解法．其中立方和公式，解高次方程屬于競賽題型，有一定難度．
