Question

已知：如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）

1.求該拋物線的解析式；

2.點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE//AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，設(shè)△CQE的面積為S，Q(m，0)，試求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量m的取值范圍）；

3.在（2）的條件下，當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

4.若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0). 問(wèn)：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

 

1.

 2.設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作EG⊥x軸于G，由得，

    ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

∴AB=6   BQ=m＋2  ∵QE//AC ∴△BQE∽△BAC    又△BEG∽△BCO

∴   即    ∴

∴

   

即

3.由（2）知

又    ∴當(dāng)時(shí)  S最大

此時(shí)   BQ=QA    又QE//CA

∴BE=EC   ∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴

4.存在，在△ODF中

①若DO=DF   ∵A(4,0) D(2,0)  ∴AD=OD=DF=2

又在Rt△AOC中，OA=OC=4  ∴∠OAC=45°∴∠DFA=∠OAC=45°

∴∠ADF=90°，此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2, 2）

由得  ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

或

②若FO=FD，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，由等腰三角形的性質(zhì)得

   ∴AM=3   ∴在等腰直角△AMF中

MF=AM=3   ∴F(1,3)   由

得     此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

③若OD=OF ∵OA=OC=4   且∠AOC=90°  ∴AC=4

∴點(diǎn)O到AC的距離為，而OF=OD=2∠，此時(shí)，不存在這樣的直線l，

使得△ODF是等腰三角形

     綜上，存在滿足條件的點(diǎn)或或或

解析:

1.根據(jù)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

2.根據(jù)△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標(biāo)為：±4，進(jìn)而得出x的值即可；

3.利用相似三角形的性質(zhì)得出S_△CQE=x×4-x²=-x²+2x，進(jìn)而求出即可；

4.利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時(shí)以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)DF=OD時(shí)分別得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．