Question

【題目】如圖，在矩形中，已知，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)作，分別交矩形的邊于點(diǎn)

（1）當(dāng)四點(diǎn)分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點(diǎn)）時(shí)，

①求證：四邊形是菱形．

②求的取值范圍．

（2）當(dāng)四邊形的面積為144時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）為或或2或14

【解析】

（1）①根據(jù)題意利用對(duì)角線(xiàn)垂直且平分的四邊形是菱形判定四邊形是菱形．

②找極限點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，在和中；可求得DE，進(jìn)而求出AE；當(dāng)與重合時(shí)，同理可得：，即得到AE的取值范圍；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)四邊分別分布在矩形的兩條邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在邊上，由題（1）同理可證：四邊形是菱形，且此時(shí)菱形的高為12，根據(jù)面積為144可求出，即四邊形是正方形，可得到AE=2；同理當(dāng)G運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，AE=14；

②當(dāng)四點(diǎn)分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點(diǎn)）時(shí)，如圖6．過(guò)點(diǎn)作，交分別于點(diǎn)P，Q，得到，根據(jù)相似比設(shè)代入菱形面積公式求出a，再由勾股定理求出PE，即可求出，同理G運(yùn)動(dòng)到靠近C時(shí)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性找出．

解：（1）①證明：在矩形中，，

．

又

同理可證：

又，

四邊形是菱形．

②當(dāng)與重合時(shí)，如圖2，

在矩形中，

由勾股定理可得：且

在和中，

，

當(dāng)與重合時(shí)，如圖3，同理可得：，

，

當(dāng)四點(diǎn)分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點(diǎn)）時(shí)，的取值范圍為．

（2）

①當(dāng)四邊分別分布在矩形的兩條邊上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在邊上，如圖4，由題（1）同理可證：四邊形是菱形，且此時(shí)菱形的高為12

，

．

故

四邊形是正方形

由于正方形和矩形對(duì)稱(chēng)軸為同一條，

，

同理可證：當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖5，．

②當(dāng)四點(diǎn)分別分布在矩形的四條邊上（不包括頂點(diǎn)）時(shí)，如圖6．過(guò)點(diǎn)作，交分別于點(diǎn)P，Q

易得．且，

，

，

設(shè)，

，

，

，

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，，

由對(duì)稱(chēng)性可得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖7，；

綜上所述：為或或2或14．