Question

如圖1，在等腰梯形中，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．，.

（1）求點(diǎn)到的距離；

（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

1）如圖1，

過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵為的中點(diǎn)，

∴

在中，∴

∴

即點(diǎn)到的距離為

（2）①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀不發(fā)生改變．

∵∴

∵∴，

同理

如圖2，

 

過點(diǎn)作于，∵

∴

∴

∴

則

在中，

∴的周長=

②當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形．

當(dāng)時(shí)，如圖3，作于，則

類似①，

∴

∵是等邊三角形，∴

此時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，如圖4，這時(shí)

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，如圖5，

則又

∴

因此點(diǎn)與重合，為直角三角形．

∴

此時(shí)，

綜上所述，當(dāng)或4或時(shí)，為等腰三角形．