Question

（2008•泰安）若等腰梯形ABCD的上、下底之和為4，并且兩條對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為60°，則該等腰梯形的面積為    ．（結(jié)果保留根號(hào)的形式）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意作圖，題中指出兩條對(duì)角線(xiàn)所夾銳角為60°而沒(méi)有指明是哪個(gè)角，所以做題時(shí)要分兩種情況進(jìn)行分析，從而得到最后答案．
解答：解：已知梯形的上下底的和是4，設(shè)AB+CD=4，
對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作對(duì)角線(xiàn)BD的平行線(xiàn)CE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)∠DOC=60度時(shí)，∠ACE=60°，△ACE是等邊三角形，邊長(zhǎng)AC=CE=AE=4，
作CF⊥AE，CF=4×sin60°=4×=2；
因而面積是×4×2=4；
（2）當(dāng)∠BOC=60度時(shí)，∠AOB=180°-60°=120°，又BD∥CE，∴∠ACE=∠AOB=120°，
∴△ACE是等腰三角形，且底邊AE=4，
因而∠CEA==30°，作CF⊥AE，則AF=FE=2，CF=2×tan30°=，
則△ACE的面積是×4×=．
而△ACE的面積等于梯形ABCD的面積．
因而等腰梯形的面積為4或．
點(diǎn)評(píng)：此題考查等腰梯形的性質(zhì)及梯形中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法，通過(guò)這條輔助線(xiàn)可以把兩對(duì)角線(xiàn)的夾角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的角的問(wèn)題．