Question

已知兩直線(xiàn)l₁，l₂分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（-1，0），并且當(dāng)兩直線(xiàn)同時(shí)相交于y負(fù)半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)l₂交于點(diǎn)D，如圖所示．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）求出拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)直線(xiàn)l₁繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）時(shí)，它與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為P（x，y），求四邊形APCB面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最大值；
（4）當(dāng)直線(xiàn)l₁繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，它與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為E，請(qǐng)找出使△ECD為等腰三角形的點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵l₁⊥l₂，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠OCA
∵∠BOC=∠AOC=90°
∴BOC∽△COA；

（2）由△BOC∽△COA得

CO

BO

=

AO

CO

，即

CO

3

=

1

CO

∴CO=

3

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-

3

）；
由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=ax²+bx-

3

把A（3，0），B（-1，0）的坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx-

3

，得

a-b+ 3 =0 9a-3b- 3 =0

，
解這個(gè)方程組，得

a= 3 3 b=- 2 3 3

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式為y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

；

（3）S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP
=

1

2

OB•CO+

1

2

×OA（-y）+

1

2

CO•x
=

3

2

-3[

3

3

（x²-2x-3）×2]+

3 x

2

=-

3

2

x²+

3 3

2

x+2

3

（0＜x＜3）
當(dāng)x=

3

2

屬于（0＜x＜3）時(shí)，S的最大值是

25 3

8

；

（4）可求得直線(xiàn)l₁的解析式為y=

3

3

x-

3

，直線(xiàn)l₂的解析式為y=-

3

x-

3

拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-

4 3

3

）
由此可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2

3

），
（i）以點(diǎn)D為圓心，線(xiàn)段DC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E₁，由拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)E₁為點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)
∴點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（2，-

3

），此時(shí)△E₁CD為等腰三角形；
（ii）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線(xiàn)段CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧時(shí)，與拋物線(xiàn)交點(diǎn)為點(diǎn)E₁和點(diǎn)B，而三點(diǎn)B、C、D在同一直線(xiàn)上，不能構(gòu)成三角形；
（iii）作線(xiàn)段DC的中垂線(xiàn)l，交CD于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E₂，E₃，交y軸于點(diǎn)F
因?yàn)镺B=1，CO=

3

，所以∠MCF=∠D=∠OCB=30°，CM=

1

2

CD=1
可求得CF=

2 3

3

，OF=

5 3

3

因?yàn)橹本�(xiàn)l與l₁平行，所以直線(xiàn)l的解析式為y=

3

3

x-

5 3

3

所以

y= 3 3 x- 5 3 3 y= 3 3 (x2-2x-3)

解得x=1，或x=2，
說(shuō)明E₂就是頂點(diǎn)（1，-

4 3

3

），E₃就是E₁（2，-

3

），
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為（2，-

3

），（1，-

4 3

3

）時(shí)，△DCE為等腰三角形．