Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn).

（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、

A、E，連接CE.

①依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；

②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的長(zhǎng)

（2）如圖3，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當(dāng)AC=3，

AB=6時(shí)，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】（1）①連接PB、PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B、C、P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E，連接CE，據(jù)此畫(huà)圖即可；②連接BD、CD，構(gòu)造矩形ACBD和Rt△CDE，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可求得CE的長(zhǎng)；

（2）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接BN，根據(jù)△PAM、△ABN都是等邊三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根據(jù)當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共射線，PA+PB+PC的值最小，此時(shí)△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖所示；

②如圖，連接BD、CD

∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，

∴BC∥AD且BC=AD，

∵∠ACB=90°，

∴四邊形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，

∵BP=3，∴DE=BP=3，

∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，

∴在Rt△DCE中， ；

（2）證明：如圖所示，

當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小

由旋轉(zhuǎn)可得，△AMN≌△APB，

∴PB=MN

易得△APM、△ABN都是等邊三角形，

∴PA=PM

∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，

∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°

∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，

∴∠CBN=90°

在Rt△ABC中，易得

∴在Rt△BCN中，

“點(diǎn)睛”本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.