Question

如圖，在直角坐標系中，已知點P₀的坐標為（1，0），將線段OP₀按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；再將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂；如此下去，得到線段OP₃，OP₄，…，OP_n（n為正整數(shù)）
（1）求點P₆的坐標；
（2）求△P₅OP₆的面積；
（3）我們規(guī)定：把點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標x_n、縱坐標y_n都取絕對值后得到的新坐標（|x_n|，|y_n|）稱之為點P_n的“絕對坐標”．根據(jù)圖中點P_n的分布規(guī)律，請你猜想點P_n的“絕對坐標”，并寫出來．

Answer 1

分析：（1）OP₆旋轉(zhuǎn)了6×45°=270°，得到點P₆落在y軸的負半軸，而點P_n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故其坐標為P₆（0，-2⁶）；
（2）根據(jù)兩組對應邊的比相等，且它們的夾角也相等，則這兩個三角形相似得到△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．然后求出S_△P0OP1=

1

2

×1×

2

=

2

2

，再求出

OP6

OP1

=32，利用相似三角形面積的比等于它們的相似比即可得到△P₅OP₆的面積；
（3）分類討論：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在x軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（2ⁿ，0）；②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在各象限的平分線上，此時，點P_n的絕對坐標為（

2

2

×2ⁿ，

2

2

×2ⁿ）；③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在y軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（0，2ⁿ）．

解答：解：
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點P₆落在y軸的負半軸，而點P_n到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故其坐標為P₆（0，-2⁶），即P₆（0，-64）；

（2）由已知可得，△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽△P_n-1OP_n．
設P₁（x₁，y₁），則y₁=2sin45°=

2

，
∴S△P0OP1=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
又∵

OP6

OP1

=32，
∴

S△P5OP6

S△P0OP1

=(

32

1

)2=1024，
∴S△P5OP6=1024×

2

2

=512

2

；

（3）由題意知，OP₀旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸，在這8次中，點P_n分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數(shù)，因此，點P_n的坐標可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，
①當n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在x軸上，此時，點P_n的絕對坐標為（2ⁿ，0）；
②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在各象限的平分線上，此時，點P_n的絕對坐標為（

2

2

×2ⁿ，

2

2

×2ⁿ），即（2^n-1

2

，2^n-1

2

）；
③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點P_n落在y軸上，
此時，點P_n的絕對坐標為（0，2ⁿ）．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)以及各象限和坐標軸上的點的坐標特點．