Question

如圖1，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），頂點(diǎn)C，D在第一象限.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形按逆時針方向運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)E（4，0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，P，Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t(s).

（1）求正方形ABCD的邊長.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t(s)之間的函數(shù)圖像為拋物線的一部分（如圖2所示），求P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度.

（3）求（2）中面積S（平方單位）與時間t(s)的函數(shù)解析式及面積S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).

（4）若點(diǎn)P,Q保持（2）中的速度不變，則點(diǎn)P沿著AB邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小.當(dāng)點(diǎn)P沿著這兩邊運(yùn)動時，能使∠OPQ＝90°嗎？若能，直接寫出這樣的點(diǎn)P的個數(shù)；若不能，直接寫不能.

 

Answer 1

解：（1）作BF⊥y軸于F.

    ∵A（0，10），B（8，4）

    ∴FB=8,FA=6,

∴AB=10       

（2）由圖2可知，點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)B用了10s…

  ∵AB=10

∴P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動速度均為每秒一個單位長度.…1分

（3）解法1：作PG⊥y軸于G，則PG∥BF.

∴△AGP∽△AFB

∴,即.

∴.

∴. 

又∵       

∴

          即

          ∵，且在0≤t≤10內(nèi)，

          ∴當(dāng)時，S有最大值.

          此時,

          ∴       

          解法2：由圖2，可設(shè),

∵拋物線過（10，28）∴可再取一個點(diǎn)，當(dāng)t=5時，計(jì)算得，

∴拋物線過（），代入解析式，可求得a,b

（4）這樣的點(diǎn)P有2個.