Question

如圖長為2的線段PQ在x的正半軸上，從P、Q作x軸的垂線與拋物線y=x²交于點(diǎn)P′、Q′．
（1）已知P的坐標(biāo)為（k，0），求直線OP′的函數(shù)解析式；
（2）若直線OP′把梯形P′PQQ′的面積二等分，求k的值．

Answer 1

分析：（1）首先假設(shè)直線OP′的函數(shù)解析式為y=mx．
根據(jù)P′點(diǎn)為拋物線y=x²與直線OP′的交點(diǎn)，聯(lián)立求得m的值．
（2）根據(jù)題意用k表示P、Q、R、Q′的坐標(biāo)，再用k分別表示出三角形P'Q'R的面積，以及梯形PP'Q'R的面積，由面積關(guān)系列方程解得k的值，即為所求．

解答：解：（1）設(shè)直線OP′的函數(shù)解析式為y=mx．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（k，0），P′的橫坐標(biāo)與P相同，且P′在拋物線y=x²上
∴P′的縱坐標(biāo)y=k²
∴k²=mk，即m=k
∴直線OP′的函數(shù)解析式為y=kx

（2）由（1）知點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（k，k²）
∵PQ=2
∴點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（k+2，（k+2）²），則R點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，k（k+2））
∵S梯形P′RQP=

1

2

(P′P+QR)•PQ，S△P′Q′P=

1

2

Q′R•PQ，直線OP′把梯形P′PQQ′的面積二等分
∴

1

2

(P′P+QR)•PQ=

1

2

Q′R•PQ，即P′P+QR+Q′R=QQ′-QR
∴QQ′-P′P=2QR?（k+2）²-k²=2k（k+2）
解得k=

2

或-

2

（不合題意舍去）
∴k=

2

答：（1）直線OP′的函數(shù)解析式為y=kx；
（2）k=

2

．

點(diǎn)評：本題著重考查了二次函數(shù)、正比例函數(shù)、梯形的面積、三角形的面積等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中用k表示P、Q、R、Q′的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．