Question

【題目】規(guī)定：若y表示一個函數(shù)，令M=|y|，我們則稱函數(shù)M為函數(shù)y的“幸福函數(shù)”．

（1）請寫出一次函數(shù)y=x﹣3的“幸福函數(shù)”M的解析式（解析式中不能含有絕對值）；

（2）若一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=（k＞0）的“幸福函數(shù)”M有三個交點(diǎn)，從左至右依次為A，B，C三點(diǎn)，并且BC=，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）已知a、b為實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=x2+ax+b的“幸福函數(shù)”M，M=2恒有三個不等的實(shí)數(shù)根．

①求b的最小值；

②若該方程的三個不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求a和b的值．

Answer 1

【答案】(1) M=;(2) A(﹣1，8）;(3) ①-2；②a=﹣16,b=62.

【解析】

（1）根據(jù)“幸福函數(shù)”求解即可；

（2）由題意設(shè)B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n，由BC=，得到，解得n=m+1，則C（m+1，﹣m+﹣），由B、C都在反比例函數(shù)y=上，可得m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，解方程組可得的A坐標(biāo)；

（3）①由題意：拋物線y=x2+ax+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為﹣2，由此構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

②當(dāng)y=2時，2=x2+ax+b，可得x2+ax+b﹣2=0，設(shè)方程的兩個根為x1，x2，（x1＜x2），則x1+x2=﹣a，x1x2=b﹣2，由方程M=2的三個不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，則有：x22=x12+（﹣）2，構(gòu)建方程組求出a、b即可．

（1）M=．

（2）由題意設(shè)B（m，﹣m+），C（n，﹣n+），且m＜n．

∵BC=，∴，解得：n=m+1，則C（m+1，﹣m+﹣）．

∵B、C都在反比例函數(shù)y=上，∴m（﹣m+）=（m+1）（﹣m+），解得：m=2，∴B（2，4），把B（2，4）代入y=得到k=8，由，解得：或，∴A（﹣1，8）．

（3）①由題意：拋物線y=x2+ax+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為﹣2，∴﹣2=，∴b=a2﹣2．

∵＞0，∴b有最小值，最小值為﹣2．

②當(dāng)y=2時，2=x2+ax+b，∴x2+ax+b﹣2=0，設(shè)方程的兩個根為x1，x2，（x1＜x2），則x1+x2=﹣a，x1x2=b﹣2．

∵方程M=2的三個不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，則有：x22=x12+（﹣）2，∴（x2+x1）（x2﹣x1）=，∴x2﹣x1=﹣，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=a2，∴a2﹣4（b﹣2）=a2①

b=a2﹣2②

由①②可得：b=62，a=±16．

∵x1+x2=﹣a＞0，∴a＜0，∴a=﹣16．