Question

如圖所示，已知直線AB過點(diǎn)C（1，2），且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，CF交y軸于G，交x軸于F．（F在原點(diǎn)O的左側(cè)）
（1）當(dāng)直線AB的位置正好使得△ACD≌△CBE時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AB的解析式．
（2）若S_{四邊形ODCE}=S_△CDF，當(dāng)直線AB的位置正好使得FC⊥AB時(shí)，求A點(diǎn)的坐標(biāo)及BC的長．
（3）在（2）成立的前提下，將△FOG延y軸對折得△F′O′G′（對折后F、O、G的對應(yīng)點(diǎn)分別為F′、O′、G′），將△F′O′G′沿x軸正方向平移，設(shè)平移過程中△F′O′G′與四邊形ODCE重疊部分面積為y，OO′的長為x（0≤x≤1），求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由△ACD≌△CBE，可得到AD的長，從而得出OA的長，即點(diǎn)A的坐標(biāo)；直線AB經(jīng)過A（0，2）和C（2、1）兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法可求得其解析式．
（2）由S_{四邊形ODCE}=S_△CDF，并結(jié)合已知條件，可得出△FOG≌△CEG，從而知道△CBE為等腰直角三角形，運(yùn)用勾股定理可得出BC的長；△CFA為等腰直角三角形，從而得到FD=DA=2，得到OA=3；即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．
（3）根據(jù)已知畫出圖象，可知S_陰影=S_{矩形ND0′G′}-S_△NMG′，數(shù)形結(jié)合，將數(shù)值代入、化簡，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由已知四邊形CDOE是矩形，從而由C（1，2），有OD=CE=1．
又∵△ACD≌△CBE∴DA=EC=1，∴OA=OD+DA=2，∴A（2，0）；
∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，又直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），C（1，2），
∴

2k+b=0 k+b=2

，解得：

k=-2 b=4

，
∴直線的解析式為y=-2x+4．

（2）由S_{四邊形ODCE}=S_△CDF，
即，1×2=

1

2

×2×DF，
得DF=2，∴OF=1，
∴OF=EC，又∵∠EGC=∠OGF，∠CEG=∠FOG=90°，
∴△FOG≌△CEG，∴FO=CE=1，OG=GE=1，
∴GE=EC；又FG⊥AB，∴∠ECF=∠CFA=∠FCD=45°，
∴FC=AC，F(xiàn)D=DA，
從而OA=3，即A（3，0），
又由EC=1，∠ECB=45°，
∴在等腰直角△CBE中，BE=1，
BC=

12+12

=

2

．

（3）如圖，△F′O′G′與四邊形ODCE重疊部分面積為
S_陰影=S_{矩形ND0′G′}-S_△NMG′，
∵∠MF′D=45°，
∴∠DMF′=∠NMG′=45°，
∴△NMG′是等邊三角形，
S_陰影=1×（1-x）-

1

2

×（1-x）（1-x），
=（1-x）[1-

1

2

×（1-x）]，
=

1

2

（1-x）（1+x）
=-

1

2

x²+

1

2

．
答：y與x的函數(shù)關(guān)系式是：y=-

1

2

x²+

1

2

（0≤x≤1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析、弄清題意，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．