Question

（2007•東城區(qū)二模）圖（1）是邊長(zhǎng)不等的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于F（圖（2））；
探究：在圖（2）中，線(xiàn)段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）操作：將圖（1）中的△C′D′E′固定，將△ABC 移動(dòng)，使頂點(diǎn)C落在C′D′的中點(diǎn)，邊AC交E′D′于M，邊BC交C′E′于N．若△C′D′E′的邊長(zhǎng)為a，∠ACD′=α （30°＜α＜90°）（圖（3））；
探究：在圖（3）中線(xiàn)段C′N(xiāo)•D′M的值是否隨α的變化而變化？如果沒(méi)有變化，請(qǐng)求出C′N(xiāo)•D′M的值；如果有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，求出∠DCA=∠ECB，根據(jù)SAS證出△DCA≌△ECB即可；
（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠C′=∠D′，∠CMD′=∠C′CN，推出△CMD′∽△NCC′，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）BE=AD，
證明：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，
∴∠DCA=∠ECB，
∵在△DCA和△ECB中

DC=CE ∠DCA=∠ECB AC=BC

，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴BE=AD．

（2）解：線(xiàn)段C′N(xiāo)•D′M的值不隨α的變化而變化，
∵△C′D′E′的邊長(zhǎng)為a，C是C′D′的中點(diǎn)，
∴CD′=CC′=

a

2

，
∵△C′D′E′和△ACB是等邊三角形，
∴∠D′=∠ACB=∠C′=60°，
∴∠D′CM+∠C′CN=180°-60°=120°，∠D′CM+∠CMD′=180°-60°=120°，
∴∠CMD′=∠C′CN，
∵∠C′=∠D′=60°，
∴△CMD′∽△NCC′，
∴

C′N(xiāo)

CD′

=

CC′

D′M

，
∴C′N(xiāo)•D′M=CD′•CC′=

a

2

×

a

2

=

a2

4

，
即線(xiàn)段C′N(xiāo)•D′M的值不隨α的變化而變化，永遠(yuǎn)是

a2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．