Question

已知拋物線L：y=ax²+bx+c（其中a、b、c均不為0）的頂點(diǎn)為P，與y軸的交點(diǎn)是M．我們稱以M為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)P的拋物線為拋物線L的“伴隨拋物線”，直線PM為L的“伴隨直線”．
（1）請(qǐng)直接寫出拋物線y=2x²-4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式______，伴隨直線的解析式______；
（2）若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=-x²-3和y=-x-3，則這條拋物線的解析式是______；
（3）求拋物線y=ax²+bx+c（其中a、b、c均不為0）的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出已知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)和與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后設(shè)伴隨拋物線的頂點(diǎn)式解析式，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求解即可；利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求伴隨直線解析式；
（2）求出伴隨拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)，再聯(lián)立伴隨拋物線與伴隨直線求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式解析式，把點(diǎn)M代入求解即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的一般形式寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)伴隨拋物線的定義設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入求解即可得到伴隨拋物線解析式；再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求伴隨直線的解析式即可．
解答：解：（1）∵y=2x²-4x+1=2（x²-1）-1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，-1），
令x=0，則y=1，
所以，點(diǎn)M（0，1），
∴伴隨拋物線的頂點(diǎn)是（0，1），經(jīng)過點(diǎn)（1，-1），
設(shè)伴隨拋物線的解析式為y=ax²+1，
則a+1=-1，
解得a=-2，
所以，伴隨拋物線的解析式為y=-2x²+1，
設(shè)伴隨直線為y=kx+b，
則，
解得，
所以，伴隨直線解析式為y=-2x+1；

（2）y=-x²-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），
所以，點(diǎn)M（0，-3），
聯(lián)立，
解得（為點(diǎn)M），，
所以，點(diǎn)P（1，-4），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
則a（0-1）²-4=-3，
解得a=1，
所以，拋物線解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
即拋物線解析式為y=x²-2x-3；
故答案為：（1）y=-2x²+1，y=-2x+1；（2）y=x²-2x-3；

（3）拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，c），
設(shè)伴隨拋物線解析式為y=mx²+c，
則-m+c=，
解得m=，
所以，伴隨拋物線解析式為y=x²+c，
設(shè)伴隨直線解析式為y=ex+f，
則，
解得，
所以，伴隨直線的解析式為y=x+c．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，讀懂題目信息，理解伴隨拋物線的定義，伴隨直線的定義是解題的關(guān)鍵．