Question

【題目】如圖，AB=4，P為線段AB上的一個動點，分別以AP，PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形PBFE，點P，C，E在一條直線上，∠DAP=60°．M，N分別是對角線AC，BE的中點．當點P在線段AB上移動時，點M，N之間的距離最短為（ ）．

A.B.C.2D.3

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接PM、PN．首先證明∠MPN=90°，設(shè)PA=2a，則PB=4-2a，PM=a，PN=(2a)，MN2關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

連接PM、PN．

∵四邊形APCD和四邊形PBFE是菱形，∠DAP=60°，

∴∠APC=120°，∠EPB=60°，

∵M，N分別是對角線AC，BE的中點，

∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，PM⊥AC，PN⊥BE，

∴∠MPN=60°+30°=90°，

∵∠CAP=∠DAP=30°，∠PBN=∠PBE=30°，

∴設(shè)PA=2a，則PB=42a，PM=a，PN=(2a)，

∴MN2===，

∴當a=時，點M，N之間的距離最短，最短距離為．

故選A．