Question

如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，并且與反比例函數(shù)y=

m

x

(m≠0)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1；
（1）求：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求反比例函數(shù)的解析式；
（3）求△AOC的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

分析：（1）由OA=OB=OD=1可直接得到點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）先利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+1，由于CD垂直于x軸，垂足是D，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，再把x=1代入y=x+1得y=2，從而確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），然后再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；
（3）利用勾股定理分別計(jì)算出AC和OC，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)與面積公式分別計(jì)算△AOC的周長(zhǎng)和面積．

解答：解：（1）∵OA=OB=OD=1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，2）；點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，
把A（-1，0），B（0，1）代入得

-a+b=0 b=1

，
解得

a=1 b=1

，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
∵CD垂直于x軸，垂足是D，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
把x=1代入y=x+1得y=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
把C（1，2）代入得k=1×2=2，
故反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；

（3）∵在Rt△ACD中，AD=2，CD=2，
∴AC=

22+22

=2

2

，
∵在Rt△OCD中，OD=1，CD=2，
∴OC=

12+22

=

5

，
∴△AOC的周長(zhǎng)=OA+OC+AC=1+

5

+2

2

；
△AOC的面積=

1

2

OA•CD=

1

2

×1×2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩個(gè)函數(shù)的解析式；待定系數(shù)法是確定函數(shù)關(guān)系式常用的方法．也考查了勾股定理．