Question

【題目】已知：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，5），C（ ，0），AOCD為矩形，AE垂直于對(duì)角線(xiàn)OD于E，點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連AF、OF．

（1）求AF和OF的長(zhǎng)；
（2）如圖②，將△OAF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△OAF為△OA′F′，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)A′F′所在的直線(xiàn)與線(xiàn)段AD交于點(diǎn)P，與線(xiàn)段OD交于點(diǎn)Q，是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①

∵OA=5，AD=OC= ，

由勾股定理可求．OD= ，

∵AE×OD=AO×AD，

∴AE=4，

∴OE= =3，

∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

∴AF=AE=4，OF=OE=3；

（2）

解：如圖②

若PD=PQ，

易得∠1=∠2=∠3，

∵∠1=∠A′，

∴∠3=∠A′，

∴OQ=OA′=5，

∴DQ= ，

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DQ，

∴ ，

∵cos∠1= ，

∴DP= ，

∴AP= ，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，5）；

如圖③

∵點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上，

∴∠1＞∠PDQ，

∴QP，QD不會(huì)相等；

如圖③，

若DP=DQ，

易得，∠1=∠2=∠3=∠4，

∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，

∴∠4=∠A′OQ，

∴A′Q=A′O=5，

∴F′Q=5﹣4=1，

∴OQ= ，

∴DP=DQ= ﹣ ，

∴AP=AD﹣DP= ﹣ ，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（ ﹣ ，5）

【解析】（1）運(yùn)用勾股定理和面積相等法結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)即可求解；（2）畫(huà)出圖形，根據(jù)PQ=PD，PD=DQ結(jié)合平行線(xiàn)的性質(zhì)，對(duì)頂角相等和角的等量代換，運(yùn)用勾股定理即可求解．