Question

如圖，已知拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標(biāo)對應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…	- 5 2	-4	- 5 2	0	…

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）若點D的坐標(biāo)為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先從表格中取拋物線P上的任意三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后再求拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)．
（2）欲求矩形DEFG的面積，需求出兩條鄰邊的長，在相似三角形△ADG和△AOC中，OA、OC長已知，AD、OD可由m表達出來，利用對應(yīng)邊成比例即可求出DG的長；同理，在相似三角形△BEF和△BOC中可求出BE的長，那么由AB-BE-AD即可求出DE的長，長×寬即可得到關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，而m的取值范圍可由G點的位置（G在線段AC上，即D在線段OA上，但不與O、A重合）得出．

解答：解：（1）拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0），任取x，y的三組值代入，得：

9a-3b+c=- 5 2 4a-2b+c=-4 a+b+c=- 5 2

，
解得

a= 1 2 b=1 c=-4

故拋物線P：y=

1

2

x²+x-4；
令y=0，得：x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得：y=-4；
則A、B、C三點的坐標(biāo)分別是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴

AD

AO

=

DG

OC

其中，AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m；
又∵

BE

BO

=

EF

OC

，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_矩形DEFG=DG•DE=（4-2m）•3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

點評：此題主要考查的是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、相似三角形的判定和性質(zhì)以及矩形面積的求法；（2）題在確定m的取值范圍時，一定要考慮到形成矩形的條件，即邊不能為0．