Question

如圖，已知：邊長(zhǎng)為1的圓內(nèi)接正方形ABCD中，P為邊CD的中點(diǎn)，直線AP交圓于E點(diǎn)．
（1）求弦DE的長(zhǎng)．
（2）若Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BQ長(zhǎng)為何值時(shí)，三角形ADP與以Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AE于F點(diǎn)．則△DEF是等腰直角三角形，根據(jù)△ADP的面積就可以求出DF，則根據(jù)勾股定理得到DE．
（2）△ADP與以Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，應(yīng)分Rt△ADP∽R(shí)t△PCQ和Rt△ADP∽R(shí)t△PCQ兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，得到BQ的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖1．過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AE于F點(diǎn)．
在Rt△ADP中，AP=

AD2+DP2

=

5

2

（1分）
又∵S_△ADP=

1

2

AD•DP=

1

2

AP•DF
∴DF=

5

5

（2分）
∵

AD

的度數(shù)為90°
∴∠DEA=45°
∴DE=

2

DF=

10

5

（4分）


（2）如圖2．
當(dāng)Rt△ADP∽R(shí)t△QCP時(shí)有

AD

QC

=

DP

CP

得：QC=1．
即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合
∴BQ=0（5分）
如圖3，當(dāng)Rt△ADP∽R(shí)t△PCQ時(shí)，有

AD

PC

=

PD

QC

得QC=

1

4

即BQ=BC-CQ=

3

4

（7分）
∴當(dāng)BQ=0或BQ=

3

4

時(shí)，三角形ADP與以點(diǎn)Q，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定方法，勾股定理及正多邊形與圓的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．