Question

如圖,把一個等腰直角三角板放置于矩形上，三角板的一個角的頂點放在處, 且直角邊在矩形內部繞點旋轉，在旋轉過程中與交于點.
（1）如圖1，試問線段與的有何數量關系？并說明理由；
（2）如圖1，是否存在為等腰三角形，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.
繼續(xù)以下探索：
（3）如圖2，以為邊在矩形內部作正方形，直角邊所在的直線交于，交于.設寫出關于的函數關系式.

Answer 1

（1）=；（2）或；（3）

試題分析：（1）連接AF，先根據矩形的性質可得AD=BC，∠D=90°，由AE=BC可得AE=AD，再由∠E=90°可得∠D =∠E，即可證得Rt△AEF≌Rt△ADF，從而得到結論；
（2）分三種情況：①當時，②當=13時，③當時，根據等腰三角形的性質結合勾股定理求解即可；
（3）同（1）證OE=OI，再根據勾股定理求解即可.
（1）=.
連接AF

∵ABCD是矩形
AD=BC，∠D=90°
∵ AE=BC
AE=AD
∵∠E=90°
∠D =∠E
又∵AF=AF
Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）
DF=EF；
（2）分三種情況：
①如圖1，當時，過作于，于.


,



設


②如圖2，當=13時，則



不可能出現.
③如圖3，當時

在的垂直平分線上.

,



；
（3）如圖4，同（1）證



 

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．