Question

【題目】如圖，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)P沿BA以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿BC以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ，將△QBP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△，設(shè)△與△ABC重合部分面積是S．

（1）求證：PQ∥AC；

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）由題意可得出，繼而可證明△BPQ∽△BAC，從而證明結(jié)論；

（2）由題意得出QP`⊥AC，分三種情況利用相似三角形的判定及性質(zhì)討論計(jì)算．

解：（1）∵BP=t，BQ=2t，AB=3，BC=6

∴

∵∠B=∠B

∴△BPQ∽△BAC

∴∠BPQ=∠A

∴PQ∥AC

（2）∵BP=t

BQ=2t

∴P`Q=

∵AB=3 BC=6

∴AC=3

∵PQ∥AC

∴QP`⊥AC

當(dāng)0<t≤時(shí)，S=t2

當(dāng)<t≤1時(shí)：

設(shè)QP`交AC于點(diǎn)M

P`B`交AC于點(diǎn)N

∴∠QMC=∠B=90°

∴△QMC∽△ABC

∴

∴

∴QM=

∵P`Q=t

∴P`M=

又∵∠P`=∠BPQ=∠A

∴△P`NM∽△ACB

∴

∴MN=2P`M

∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=

∴

當(dāng)1<t≤3時(shí)

設(shè)QB`交AC于點(diǎn)H

∵∠HQM=∠PQB

∴△HMQ∽△PBQ

∴

∴MH=MQ

∴

綜合上所述：