Question

（2004•廈門）已知拋物線y=ax²+（b-1）x+2．
（1）若拋物線經(jīng)過點（1，4）、（-1，-2），求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線與直線y=x有兩個不同的交點P、Q，且點P、Q關(guān)于原點對稱．
①求b的值；
②請在橫線上填上一個符合條件的a的值：a=______，并在此條件下畫出該函數(shù)的圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知的兩點的坐標代入拋物線中通過聯(lián)立方程組即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）連接直線y=x和拋物線的解析式，得出一個關(guān)于x的一元二次方程，由于P，Q的坐標關(guān)于原點對稱，那么這兩點的橫坐標的和應(yīng)該為0，即得出的方程的兩根之和為0，根據(jù)韋達定理即可求出b的值．
解答：解：（1）由題意可得：，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+3x+2；

（2）①已知拋物線和直線y=x相交于P，Q兩點，則有：
ax²+（b-1）x+2=x，
ax²+（b-2）x+2=0；
設(shè)P，Q的坐標為（x₁，y₁）（x₂，y₂）；
∵點P、Q關(guān)于原點對稱，
∴x₁+x₂=-=0，
∴b=2．
②根據(jù)①可知拋物線的解析式為y=ax²+x+2．
當a=-1時，y=-x²+x+2，如圖：
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識點．