Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作∠DEF=90°，EF交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，△BED的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如果以線段BC為直徑的圓與以線段AE為直徑的圓相切，求線段BE的長(zhǎng)；
（3）如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，求△BED的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根據(jù)BC的長(zhǎng)和∠B的正弦值，表示出BD邊上的高，再根據(jù)三角形BED的面積公式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）可先表示出AE的長(zhǎng)，過(guò)AE的中點(diǎn)（設(shè)為O）作BC的垂線OG，可根據(jù)OG，GD的長(zhǎng)，來(lái)表示出OD，然后根據(jù)兩圓外切和內(nèi)切的不同，讓兩圓的半徑相加或相減后等于圓心距OD，得出關(guān)于x的方程，求出x的解；
（3）若兩三角形相似，則∠BEF=∠BDF．求△BED的面積就需要知道底邊和高，關(guān)鍵是求出BE的長(zhǎng)，可通過(guò)構(gòu)建相等的線段，來(lái)得出關(guān)于x的方程求解．
分別過(guò)E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根據(jù)∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE=∠FEB=∠FDE．
因此可得出EM=EH，可根據(jù)EM，EH的不同的表示方法，來(lái)得出含x的等式，從而求出x的值．
也就可以求出三角形BED的面積了．
∠BEF為銳角和鈍角的不同情況時(shí)，表示線段EM的式子會(huì)略有不同，但是思路是一致的，不要丟掉任何一種情況．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=

3

4

，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB于H．
則可求得EH=

3

5

x．
∴y=

1

2

×4×

3

5

x=

6

5

x（0＜x≤

16

5

或5＜x≤10）．

（2）取AE的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于G，連接OD．
則OG=

3

5

OB=

3

5

×

10+x

2

=

3

10

（10+x），GD=CD-CG=4-

2

5

（10-x）=

2

5

x，
∴OD=

9 100 (10+x)2+ 4 25 x2

．
若兩圓外切，則可得

1

2

BC+

1

2

AE=OD，
∴（BC+AE）²=4OD²，
∴（8+10-x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=

20

3

．
若兩圓內(nèi)切，得|

1

2

BC-

1

2

AE|=OD，
∴（BC-AE）²=4OD²，
∴（8-10+x）²=4[

9

100

（10+x）²+

4

25

x²]
解得x=-

20

7

（舍去），所以兩圓內(nèi)切不存在．
所以，線段BE的長(zhǎng)為

20

3

．

（3）由題意知∠BEF≠90°，故可以分兩種情況．
①當(dāng)∠BEF為銳角時(shí)，
由已知以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BA于M，過(guò)E作EH⊥BC于H．
根據(jù)等角的余角相等，可證得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=

16

5

-x，
由（1）知：EH=

3

5

x，
∴

16

5

-x=

3

5

x，
∴x=2．
∴y=

6

5

×2=

12

5

．
②當(dāng)∠BEF為鈍角時(shí)，同理可求得x-

16

5

=

3

5

x，
∴x=8．
∴y=

6

5

×8=

48

5

．
所以，△BED的面積是

12

5

或

48

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系以及解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．
注意（2）和（3）中都要分情況進(jìn)行討論：（2）要分兩圓是內(nèi)切還是外切，（3）要分∠BEF時(shí)鈍角還是銳角進(jìn)行分類討論，不要丟掉任何一種情況．