Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，BC=2，以線段BC的中點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，連結(jié)OA交⊙O于點(diǎn)M
（1）若∠ABO=120°，AO是∠BAD的平分線，求

BM

的長；
（2）若點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，AE=

3

，OA=2，求證：直線AD與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）求出AB=BO，求出∠AOB，根據(jù)弧長公式求出即可；
（2）連接OD，OE，證出AO=OD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出OE⊥暗淡，QIUC OE=OB，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：（1）解：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠AOB，
∵AO是∠BAD的平分線，
∴∠EAO=∠BAO，
∴∠BAO=∠AOB，
∵∠ABC=120°，BC=2，O是BC的中點(diǎn)，
∴∠AOB=∠BAO=30°，OA=OB=1，
∴

BM

的長是

30π×1

180

=

1

6

π；

（2）
證明：連接OD和OE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABO=∠DCO，
∵O為BC中點(diǎn)，
∴BO=CO，
∵在△ABO和△DCO中

AB=DC ∠ABO=∠DCO BO=CO

∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AO=OD，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴OE⊥AD，
在Rt△AEO中，AE=

3

，AO=2，由勾股定理得：OE=1=BO，
即OE為半徑，OE⊥AD，
∴直線AD與⊙O相切．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，弧長公式，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．