Question

【題目】已知△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC，D是BA邊上一點（點D不與A，B重合），M是CA中點，當以CD為直徑的⊙O與BA邊交于點N，⊙O與射線NM交于點E，連接CE，DE．
（1）求證：BN=AN；
（2）猜想線段CD與DE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CND=90°，

∴CN⊥AB，

∵BC=AC，

∴BN=AN；

（2）解：CD= DE，

理由如下：∵△ABC中，∠BCA=90°，BN=AN，

∴CN=AN，

∵點M是CA中點，

∴NM平分∠CNA，

∵∠CNA=90°，

∴∠CNM=45°，

∴∠CDE=∠CNE=45°，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CED=90°，

∴∠DCE=45°=∠CDE，

∴DE=CE，

∵CE2+DE2=CD2，

∴CD= DE

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理求出∠CND=90°，根據(jù)等腰三角形的性質得出即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質求出CN=AN，根據(jù)等腰三角形性質求出∠CNM=45°，根據(jù)圓周角定理求出∠CED=90°，∠CDE=∠CNE=45°，根據(jù)勾股定理求出即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．