Question

如圖，在矩形ABCD的對角線AC上有一動點O，以OA為半徑作⊙O交AD、AC于點E、F，連結CE．
（1）若CE恰為⊙O的切線，求證：∠ACB=∠DCE；
（2）在（1）的條件下，若AB=

2

，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵CE是⊙O的切線，
∴OE⊥EC，
∴∠DEC+∠AEO=90°，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠ACB=∠EAO，∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ACB=∠DCE；

（2）連接EF，
∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴

AB

DE

=

BC

CD

，
∵AB=CD=

2

，BC=2，
∴DE=1，
∴AE=DE，
∵AF為直徑，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=

2

，BC=2，
∴AC=

6

，
∴⊙O的半徑OA=

1

2

AF=

1

4

AC=

6

4

．