Question

【題目】如圖，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上（不與點(diǎn)重合）的任意一點(diǎn)，連接，并使的延長(zhǎng)線交射線于點(diǎn)，設(shè)．

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；

（3）若的三邊垂直平分線的交點(diǎn)在該三角形的內(nèi)部，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）50°；（3）40°＜α＜90°

【解析】

（1）根據(jù)ASA證明：△APM≌△BPN；

（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等邊對(duì)等角可得結(jié)論；

（3）直角三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)是斜邊上的中點(diǎn)，鈍角三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的外部，只有銳角三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，所以根據(jù)題中的要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．

（1）證明：∵P是AB的中點(diǎn)，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

∵，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

（3）解：∵的三邊垂直平分線的交點(diǎn)在該三角形的內(nèi)部，

∴△BPN是銳角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．