Question

【題目】已知，如圖Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P為AC的中點，Q從點A運動到B，點Q運動到點B停止，連接PQ，取PQ的中點O，連接OC，OB．

(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的長；

(2)在整個運動過程中，點O的運動路徑長_____；

(3)以O為圓心，OQ長為半徑作⊙O，當⊙O與AB相切時，求△COB的面積．

Answer 1

【答案】(1)BQ=8.2cm；(2)5cm；(3)S△BOC＝.

【解析】

(1)根據得，從而得到的長即可求出的長；

（2）由點與點重合和點與點重合時，可以確定點的位置，再根據點位于上除端點外的任意一點時，由點是的中點，點是的中點可知是的中位線，從而得到點的運動軌跡是的 中位線，即線段，即可求得答案；

（3）連接，過點作 ，先證明得到 ，所以求得的值，且，再證明得到，求得的值，再根據即可求得答案；

解：(1)如圖1所示，

∵

∴

又∵點P為AC的中點，

∴

∵

∴ ，即

解之得：

則

(2)如圖2，

當點Q與點A重合時，點O位于點E的位置，

當點Q與點B重合時，點O位于點F的位置，

則EF是△APB的中位線，

∴EF∥AB，且EF＝AB＝5，

而當點Q位于AB上除端點外的任意一點時，

∵點O是PQ中點，點F是PB的中點，

∴OF是△PBQ的中位線，

∴OF∥BQ，

∴點O的運動軌跡是線段EF，

則點O的運動路徑長是5cm；

故答案為：5cm．

(3)如圖3，連接 ，過點O作于點N，

∵⊙O與AB相切，

∴ ，即 ，

∵

∴

∴ ，即

解之得：

則

∵

∴

又∵

∴，

∴ ，即 ，

解之得:

則