Question

如圖，在正方形ABCD中，以對(duì)角線AC為一邊作一等邊△ACE，連接ED并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：EF⊥AC；
（Ⅱ）延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)G，試確定線段DG和線段DE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）可由SSS證得△AED≌△CED，得到∠AED=∠CED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：頂角的平分線與底邊上的高重合知，EF⊥AC；
（2）過(guò)G作GM⊥EF，垂足為M，則可證得△DMG為等腰直角三角形，△MGE為含30度角的直角三角形，進(jìn)而設(shè)出參數(shù)，解△DMG和，△MGE這兩個(gè)直角三角形，求得DG與DE的比．

解答：（1）證明：由已知，得

AE=CE ED=ED AD=CD

，
∴△AED≌△CED，（2分）
∴∠AED=∠CED，（3分）
又∵△AEC為等邊三角形，
∴EF⊥AC；（4分）

（2）解法一：
過(guò)G作GM⊥EF，垂足為M，（5分）
由已知和（Ⅰ），得
∠AED=∠CED=30°，∠EAD=15°
∴∠EDG=45°，
∴MD=GM（6分）
設(shè)GM=x，則DG=

2

x
在Rt△MEG中，EG=2MG=2x，（7分）
∴EM=

3

x（8分）
∴ED=

3

x+x=（

3

+1）x（9分）
∴

ED

DG

=

( 3 +1)x

2 x

=

6 + 2

2

即DE=

6 + 2

2

DG（或DG=

6 - 2

2

DE）（10分）

解法二：
過(guò)E作EM⊥AD，垂足為M
在Rt△MDE中，
∵∠EDM=∠MED=45°，
∴EM=DM
設(shè)EM=DM=x，
則DE=

2

x（6分）
在Rt△AEF中，cot30°=

DE+DF

AF

，
∴DF=AF=

( 6 + 2 )x

2

（7分）
∴AD=

( 6 + 2 )x

2

•

2

=(

3

+1)x（8分）
∵△CDG∽△AME，
∴

DG

EM

=

CD

AM

即

DG

x

=

( 3 +1)x

( 3 +1+1)x

∴DG=(

3

-1)x（9分）
∴

DE

DG

=

2 x

( 3 -1)x

=

6 + 2

2

即DE=

6 + 2

2

DG（或DG=

6 - 2

2

DE）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用了等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念求解．