Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點(diǎn)B作直線BH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出△ABC的面積；

（3）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，當(dāng)△ABP的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）若點(diǎn)M在直線BH上運(yùn)動，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出此時(shí)△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）3；（3）（5，﹣5）；（4）△CMN的面積為：或或17或5．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x=2寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），根據(jù)面積公式求△ABC的面積；（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計(jì)算求出m的值，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（4）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長，利用面積公式進(jìn)行計(jì)算．

試題解析：（1）把點(diǎn)A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得 解得：，

∴拋物線表達(dá)式為：y=﹣x2+4x；

（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3），

又∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）過P點(diǎn)作PD⊥BH交BH于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+4m），

根據(jù)題意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（5，﹣5）．

（4）以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類情況討論：

①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC=，

∴S△CMN=××= ；

②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= =，

∴S△CMN=××= ；

③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得：CN= =，

∴S△CMN=××=17；

④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖5，同理得：CN==，

∴S△CMN=××=5；

⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為：或 或17或5．