Question

（2012•沈陽(yáng)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當(dāng)∠ODB=30°時(shí)，求證：BC=OD．

Answer 1

分析：（1）由OD⊥AC OD為半徑，根據(jù)垂徑定理，即可得

CD

=

AD

，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數(shù)，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數(shù)，然后由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．

解答：證明：（1）∵OD⊥AC   OD為半徑，
∴

CD

=

AD

，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=

1

2

AB，
∵OD=

1

2

AB，
∴BC=OD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．