Question

【題目】如圖，已知正方形 的邊長為 ，點 、 分別在邊 、 上，且 ， 、 交于點 ．下列結論：，，， 中，正確的有________________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由正方形ABCD的邊長為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對應角相等，易證得①∠DOC=90°正確；②由線段垂直平分線的性質與正方形的性質，可得②錯誤；易證得∠OCD=∠DFC，即可求得③正確；由①易證得④正確．

解：∵正方形ABCD的邊長為4，

∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，

∵AE=BF=1，

∴BE=CF=4-1=3，

在△EBC和△FCD中，

，

∴△EBC≌△FCD（SAS），

∴∠CFD=∠BEC，

∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，

∴∠DOC=90°；故①正確；

連接DE，如圖所示：

若OC=OE，

∵DF⊥EC，

∴CD=DE，

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②錯誤；

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，

∴∠OCD=∠DFC，

∴tan∠OCD=tan∠DFC=，故③正確；

∵△EBC≌△FCD，

∴S△EBC=S△FCD，

∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC，

即S△ODC=S四邊形BEOF．故④正確；

故答案為：①③④．