Question

如圖，⊙O的直徑AB=8，C為圓周上一點，AC=4，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E．

小題1:求∠AEC的度數(shù)
小題2:求證：四邊形OBEC是菱形

Answer 1

小題1:解：在△AOC中，AC=4，
∵ AO＝OC＝4，
∴ △AOC是等邊三角形．………1分
∴ ∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°．…………………3分
小題2:證明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴OC∥BD．……………………4分
∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．
∵ AB為⊙O的直徑，
∴ △AEB為直角三角形，∠EAB＝30°． …………………………7分
∴∠EAB＝∠AEC．
∴ 四邊形OBEC為平行四邊形． …………………………………6分
又∵ OB＝OC＝4． 
∴ 四邊形OBEC是菱形． …………………………………………7 分

（1）易得△AOC是等邊三角形，則∠AOC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥l，則有OC∥BD，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB=90°，則∠EAB=30°，可證得AB∥CE，得到四邊形OBEC為平行四邊形，再由OB=OC，即可判斷四邊形OBEC是菱形