Question

【題目】已知關于x的一元二次方程：x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有兩個不相等的實數根．

(1)求m的取值范圍；

(2)若原方程的兩個實數根為x1、x2， 且滿足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）m＞2；（2）m＝3.

【解析】試題分析：（1）由方程有兩個不相等的實數根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；

（2）根據根與系數的關系即可得出x1+x2=2（m+1）、x1x2=m2+5，結合m的取值范圍即可得出x1＞0、x2＞0，再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m﹣18=0，解之即可得出m的值．

試題解析：（1）解：∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有兩個不相等的實數根， ∴△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）=8m﹣16＞0，

解得：m＞2．

（2）解：∵原方程的兩個實數根為x1、x2 ， ∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5．

∵m＞2，

∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1x2=m2+5＞0，

∴x1＞0、x2＞0．

∵x12+x22= ﹣2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2 ，

∴4（m+1）2﹣2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m﹣18=0，

解得：m=3.