Question

如圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪的方位角為45°，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9海里/時(shí)的速度向小島B靠攏．我海軍艦艇立即以21海里/時(shí)的速度去營救．
（1）求艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間．
（2）設(shè)艦艇的航向與AC的夾角為α，求α的正弦值．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)題意，畫出圖形，不難得出∠ACB=120°，已知了軍艦和漁船的速度，那么可設(shè)時(shí)間，并用時(shí)間表示出AB，BC的長，已知了AC的長為10，可根據(jù)余弦定理來求出時(shí)間的值．
（2）根據(jù)（1）中求出的時(shí)間，可得出AB、BC的長，那么根據(jù)正弦定理即可求出∠α的正弦值．

解答：解：（1）設(shè)靠近漁船所需的時(shí)間為t小時(shí)，那么AB=21t（海里）．BC=9t（海里）．
根據(jù)余弦定理可得：
AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos120°
（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化簡得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合題意舍去）
答：靠近漁船需要的時(shí)間為

2

3

小時(shí)．

（2）由（1）得出的時(shí)間值可得：AB=14，BC=6
根據(jù)正弦定理可得：

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

sin∠CAB=BC•sin120°÷AB=6×

3

2

÷14=

3 3

14

即sin∠α=

3 3

14

．

點(diǎn)評：本題主要考查了解直角三角形中方向角的應(yīng)用問題，畫對圖形是解題的關(guān)鍵．