Question

如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點E，F，連接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）在圖1中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．

 

Answer 1

【答案】

（1）EF=BE+DF，證明見解析? （2）AM=AB?? （3）AM=AB，證明見解析

【解析】

（1）EF=BE+DF，
證明：如答圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAQ=45°，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中
，
∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．
（2）解：AM=AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．
（3）AM=AB，
證明：如答圖2，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵折疊后B和D重合，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠FAE=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．