Question

如圖，直線l表示草原上一條河的河堤，在河堤的一側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，它們到河堤l的距離分別為AC=30km，BD=40km，兩個(gè)村莊A、B之間的距離為50km．有一牧民騎馬從A村出發(fā)到B村，途中要到河邊給馬飲一次水．
（1）在圖中標(biāo)出使牧民行駛距離最短的飲水點(diǎn)P；
（2）若他在上午8點(diǎn)出發(fā)，以每小時(shí)30km的平均速度前進(jìn)，則他能否在上午10點(diǎn)30分之前到達(dá)B村．

Answer 1

分析：（1）要求牧民行駛距離最短的飲水點(diǎn)P，除非AP、BP的和為兩定點(diǎn)之間的距離，也即是P在兩定點(diǎn)A、B′的連線上．
（2）先根據(jù)勾股定理求出AB′的長(zhǎng)，再求出所需時(shí)間，進(jìn)行比較得出結(jié)論．

解答：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接AB’交直線l于點(diǎn)P．（5分）

（2）作AE⊥BD于點(diǎn)E，
則DE=AC=30km，BE=40-30=10km，AE²=50²-10²=2400，B’E=70km，
∴BP+PA=AB’=

702+2400

=10

73

，（7分）
又30×2.5=75＜10

73

，（9分）
故牧民不能在10點(diǎn)30分之前到達(dá)B村．（10分）

點(diǎn)評(píng)：（1）最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可以利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．
（2）時(shí)間=路程÷速度．本題求出AB′的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．