Question

已知，直線y=-

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x+1與x軸，y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且點P（1，a）為坐標系中的一個動點．
（1）求三角形ABC的面積S_△ABC；
（2）證明不論a取任何實數，三角形BOP的面積是一個常數；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）根據直線的解析式容易求出A，B的坐標，也可以求出OA，OB，AB的長，由于三角形ABC是等腰直角三角形，知道AB就可以求出S_△ABC；
（2）不論a取任何實數，△BOP都可以以BO=1為底，點P到y(tǒng)軸的距離1為高，所以三角形BOP的面積是一個常數；
（3）△ABC的面積已知，把△ABP的面積用a表示，就可以得到關于a的方程，解方程可以求出a．

解答：解：（1）令y=-

3

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x+1中x=0，得點B坐標為（0，1）；
令y=0，得點A坐標為（

3

，0），
由勾股定理得|AB|=2，
∴S_△ABC=2；

（2）不論a取任何實數，△BOP都可以以BO=1為底，點P到y(tǒng)軸的距離1為高，
∴S_△BOP=

1

2

為常數；

（3）當點P在第四象限時，a＜0，
∵S_△ABO=

3

2

，S_△APO=-

3

2

a，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即

3

2

-

3

2

a-

1

2

=2，
解得a=

3-5 3

3

，
當點P在第一象限時，同理可得a=1+

3

，
綜上所述，a的值為

3-5 3

3

或1+

3

．

點評：此題主要考查一次函數圖象的性質來探討變化三角形的面積，也結合了方程的知識，解方程就可以求出a．