Question

（1）如圖1，BP為ABC的角平分線，PMAB于M，PNBC于N，AB =30，BC =23，求ABP與BPC的面積的比值；
（2）如圖2，分別以ABC的邊AB、AC為邊向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，CD與BE相交于點(diǎn)O，判斷AOD與AOE的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）在四邊形ABCD中，已知BC=DC，且AB≠AD，對(duì)角線AC平分BAD，請(qǐng)畫出圖形，并直接寫出B和D的數(shù)量關(guān)系．
        

Answer 1

（1）

∵平分
∴
在和中

∴
∴
∵

∴


∴所求面積比值為
（2）答：∠AOD與∠AOE的數(shù)量關(guān)系為相等．
證明：如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∵∠BAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE．
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．
∵S_△DAC=DC•AM，S_△BAE=BE•AN，
∴AM=AN．
∴點(diǎn)A在∠DOE的角平分線上．
∴∠AOD=∠AOE．
（3）作CM⊥AB，CN⊥AD，

∵AC為∠BAD的角平分線，
∴CM=CN，
∵CB=DC，
∴△CMB≌△CND，
∴∠MBC=∠NDC，
∵∠MBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠B+∠D=180°．

解析